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传递函数

传递函数的简介

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    所谓传递函数即线性定常系统在零初始条件下,输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比.

    传递函数通常用于单输入、单输出的模拟电路,主要用在信号处理、通信理论、控制理论.这个术语经常专门用于如本文所述的线性时不变系统(LTI).实际系统基本都有非线性的输入输出特性,但是许多系统在标称参数范围内的运行状态非常接近于线性,所以实际应用中完全可以应用线性时不变系统理论表示其输入输出行为.有的书中也把其译为:"转移函数".

    对于最简单的连续时间输入信号 x(t) 和输出信号 y(t) 来说,传递函数所反映的就是零状态条件下输入信号的拉普拉斯变换 X(s) 与输出信号的拉普拉斯变换 Y(s) 之间的线性映射关系:

    或者

    其中 H(s) 就是此线性时不变系统的传递函数.

    在离散时间系统中,应用Z变换,传递函数可以类似地表示成

传递函数的常识

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    传递函数概念的适用范围限于线性常微分方程系统.当然,在这类系统的分析和设计中,传递函数方法的应用是很广泛的.下面是有关传递函数的一些重要说明(下列各项说明中涉及的均为线性常微分方程描述的系统).

    1. 系统的传递函数是一种数学模型,它表示联系输出变量与输入变量的微分方程的一种运算方法.

    2. 传递函数是系统本身的一种属性,它与输入量或驱动函数的大小和性质无关.

    3. 传递函数包含联系输入量与输出量所必需的单位,但是它不提供有关系统物理结构的任何信息(许多物理上完全不同的系统,可以具有相同的传递函数,称之为相似系统).

    4. 如果系统的传递函数已知,则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应,以便掌握系统的性质.

    5. 如果不知道系统的传递函数,则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法,确定系统的传递函数.系统的传递函数一旦被确定,就能对系统的动态特性进行充分描述,它不同于对系统的物理描述.

    6. 用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数学模型,说明如下

    第一种表示方式为:

    第二种表示方式也叫零极点增益模型,具体形式为:

传递函数的性质

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    1、传递函数是一种数学模型,与系统的微分方程相对应.

    2、是系统本身的一种属性,与输入量的大小和性质无关.

    3、只适用于线性定常系统.

    4、传递函数是单变量系统描述,外部描述.

    5、传递函数是在零初始条件下定义的,不能反映在非零初始条件下系统的运动情况.

    6、一般为复变量 S 的有理分式,即 n ≧ m.且所有的系数均为实数.

    7、如果传递函数已知,则可针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应.

    8、如果传递函数未知,则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法,确定系统的传递函数.

    9、传递函数与脉冲响应函数一一对应,脉冲响应函数是指系统在单位脉冲输入量作用下的输出.

传递函数的微观结构

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    线性定常系统的传递函数都是复变量 S 的有理分式,其分子多项式和分母多项式经分解后可写如下形式:

传递函数参数辨识的改进复向量拟合法

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    引   言

    电磁兼容研究非常依赖于现场测试技术,但受种因素所限,测量用电磁天线的频率响应特性并不平坦(如图1所示),因此,并不能简单地从测量数据归算出实际的电、磁场强度. 必须对测量值进行校正才能获取真实的电磁环境评估数据.通常,可把电、磁场天线看成一个"黑匣子",根据其典型的增益曲线(由生产厂家或计量部门提供校准数据或用网络分析仪实际测取),建立等效的频域传递函数,以实现对天线频率特性的补偿.

    传统的传递函数辨识法主要有:Levy法、山下法、正交多项式法、PrONy法等.但这些算法往往存在着下述局限性: ①拟合精度差;②所得极点常为不稳定点;③算法的收敛性特别依赖于初始值的选择.近年来,复向量拟合法作为一种有理近似方法,在传递函数拟合领域获得了广泛应用.复向量拟合法是由B.Gustavsen提出的一种针对频域离散数据的稳定、有效的有理逼近方法,先后有学者将其应用到变压器、架空线路以及互感器的频域传递函数建模中,并获得了较满意的结果.该方法也可应用到电磁天线的频域特性建模中.本文提出了一种改进的复数向量拟合法,较传统方法有更高的拟合准确度,可用于高频电磁天线的频域建模.

    1 改进的复向量拟合法

    由网络理论可知,对单一个单入单出、线性时不变的无源网络,在复频率平面s上,任一给定阶数的传递函数可表示为:

    显然,当阶数较高且频带较宽时,式(2)是严重病态的方程组.为此,复向量拟合法将式(1)转换为部分分式形式

    式中,a1,a2,…,an,c1,c2,…,cn,d,h为待辨识的参数.其中,留数犮n与极点n为实数或者共轭复数对,d与h为实数.这种方法的突出优点,是将含频率高次幂系数的病态方程组,巧妙地转化为线性的超定方程组,然后求其最小二乘解.

    在复向量拟合法的基础上,通过增加导数信息以及将系数矩阵乘以一个对角阵,本文提出了一种改进的复向量拟合法.算法的实现可以分为两步:极点的确定和零点的确定.

    1.1  极 点 的 确 定 引 入 一 个 未 知 函 数 σ ( s ) , 并 将 其 与 f ( s ) 相 乘 , 可 得 到 另 一 函 数 , 记 为 σ f ( s ) . σ ( s ) 与 σ f ( s ) 的 有 理 近 似 分 别 如 式 ( 4 ) 与 式 ( 5 ) 所 示

    式 中 , f ( s ) 为 实 测 数 据 . 显 然 , 对 于 未 知 参 数 c~1 ,c~2 ,… ,而 言 , 式 ( 7 ) 为 一 线 性 方 程 组 . 式 ( 7 ) 只 是 利 用 了 实 测 的 频 域 数 据 本 身 , 而 对 频 域 数 据 之 间 的 联 系 并 未 体 现 . 导 数 可 反 映 频 域 数 据 的 局 部 变 化 率 , 加 入 此 项 , 理 论 上 可 更 准 确 地 逼 近 被 拟 合 曲 线 的 高 阶 信 息 和 细 节 . 由 式 ( 7 ) 对 s 求 一 阶 导 数 , 可 得

    对 原 始 频 域 数 据 的 求 导 , 可 采 用 样 条 函 数 法 来 计 算 , 以 提 高 求 导 的 准 确 性 . 将 各 个 频 率 点 的 测 量 数 据 代 入 式 ( 7 ) 与 式 ( 8 ) , 可 得 到 如 下 的 超 定 线 性 方 程 组

    式 中 , M 为 频 率 采 样 点 数 . 当 极 点 为 复 数 时 , 必保 证 留 数 也 以 复 数 形 式 出 现 , 故 需 要 对 系 数 矩 阵 犃 做 出 修 正 . 假设

    复 向 量 拟 合 法 在 求 解 超 定 线 性 方 程 组 时 , 一 般 采 用 正 交 变 换 以 及 归 一 化 方 法 来 提 高 数 值 稳 定 性 . 本 文 在 应 用 中 发 现 , 通 过 将 系 数 矩 阵 A 与 一 个 对 角 阵 D相 乘 , 还 可 进 一 步 减 小 条 件 数 , 进 而 提 高 拟 合 精 度 , 即

    很 显 然 , 从 式 ( 1 3 ) 可 知 , f (s) 的 极 点 就 是 σ ( s ) 的 零 点 . 因 此 , 通 过 计 算 σ ( s ) 的 零 点 就 可 得 到 f ( s ) 的 极 点 . σ ( s ) 的 零 点 可 通 过 求 取 矩 阵 D 的 特 征 值 来 获 得 , 即

    1 .2  留 数 的 确 定 由 1 . 1 节 确 定 待 拟 合 函 数 f ( s ) 的 极 点 后 , 若 将 这 些 极 点 作 为 初 始 极 点 代 入 式 ( 3 ) , 就 可 进 一 步 确 定 f ( s ) 的 留 数 , 即

    将 各 个 频 率 测 量 点 数 据 代 入 式 ( 1 5 ) 与 式 ( 1 6 ) , 可 得 到 如 下 的 超 定 线 性 方 程 组

    通 过 求 解 超 定 线 性 方 程 组 ( 1 7 ) , 即 可 获 得 f ( s ) 的 留 数 . 至 此 , 待 拟 合 函 数 f ( s ) 被 完 全 确 定

    2   数 值 仿 真 与 应 用

    为 验 证 本 文 算 法 的 有 效 性 , 任 给 式 ( 1 9 ) 所 示 的 1 0 阶 传 递 函 数 f ( s ) , 将 其 频 域 特 性 作 为 已 知 的 测 量 数 据 , 分 别 应 用 本 文 算 法 和 传 统 复 向 量 拟 合 法 进 行 比 较 分 析

    2 . 1   传 递 函 数 阶 数 对 拟 合 准 确 度 的 影 响

    设 置 采 样 区 间 为 [ 1 0 ,20 k ] H z , 按 照 对 数 均 分 原 则 在 频 域 内 取 7 0 个 采 样 点 . 用 采 样 点 处 真 实 值 与 拟 合 结 果 的 均 方 根 误 差 来 衡 量 拟 合 准 确 度 . 不 同 目标 传 递 函 数 阶 数 对 拟 合 准 确 度 的 影 响 如 表 1 所 示 .

    2 .2  采 样 点 数 对 拟 合 准 确 度 的 影 响

    设 置 目 标 传 递 函 数 的 阶 数 为 1 0 阶 , 采 样 区 间 不 变 , 分 别 取 不 同 的 采 样 点 数 , 两 种 方 法 的 拟 合 结 果表平方所 示 . 可 以 看 出 , 本 文 改 进 算 法 的 整 体 拟 合 准 确 度 , 仍 然 优 于 传 统 的 复 向 量 拟 合 法 . 或 者 说 , 采 用 改 进 的 复 向 量 拟 合 法 , 可 在 一 定 程 度 上 降 低 对 频 域 采 样 点 数 的 要 求 . 需 要 指 出 的 是 , 由 于 系 数 矩 阵A 的 行 向 量 数 为2n (n 为 采 样 点 数 ) , 随 着 采 样 点 数 的 增 加 , 系 数 矩 阵 A 的 行 向 量 数 也 会 随 之 增 加 , 方 程 条 件 数 也 会 随 之 增 大 , 这 会 导 致 超 定 线 性 方 程 组 ( 9 ) 与 ( 1 7 ) 的 病 态 程 度 更 为 严 重 , 从 而 对 计 算 精 度 产 生 不 良 的 影 响 . 因 此 , 采 样 点 数 的 增 加 并 不 必 然 带 来 计 算 精 度 的 提 高 .

    2 . 3   幅 频 特 性 拟 合 效 果 比 较

    设 定 目 标 传 递 函 数 的 阶 数 为 1 0 阶 , 采 样 区 间 不 变 , 采 样 点 数 为 7 0 , 分 别 使 用 本 文 算 法 与 传 统 复 向 量 拟 合 法 对 式 ( 1 9 ) 对 应 的 幅 频 特 性 曲 线 进 行 拟 合 . 两 种 算 法 获 取 的 传 递 函 数 幅 频 特 性 曲 线 如 图平方所 示 . 从 图平方频 域 特 性 的 细 节 处 可 以 看 出 , 本 文 算 法 与 复 向 量 拟 合 法 相 比 , 具 有 更 高 的 拟 合 准 确 度 .

    2. 4   应 用 验 证

    针 对 图 1 中 实 测 的 磁 场 天 线 系 数 曲 线 , 可 转 换 为 如 图 3 所 示 的 该 磁 场 天 线 的 幅 频 特 性 曲 线 . 在 图 3 中 取 3 0 个 频 域 采 样 点 , 设 定 目 标 传 递 函 数 为 3 阶 , 采 用 本 文 的 改 进 算 法 对 该 频 域 特 性 曲 线 进 行 了 传 递 函 数 拟 合 . 本 文 算 法 的 应 用 对 象 为 复 数 型 的 实 测 数 据 ( 包 括 幅 频 与 相 频 特 性 ) , 而 一 般 天 线 手 册 中 只 提 供 幅 频特 性 . 针 对 这 种 情 况 , 可 采 用 幅 频 特 性 的 平 方 函 数 f | ( s ) |平方进 行 拟 合 , 来 获 取 f ( s ) 的 零 极 点  . 由 f | ( s ) |平方的 性 质 可 知 , 若 f ( s ) 为n 阶 传 递 函 数 , 则 f | ( s ) |平方的 极 点 数 为2n . f | ( s ) |平方的 极 点 与 零 点 均 满 足 象 限 对 称 性 , 其 在 s 域 左 半 平 面 的 零 、 极 点 即 为 函 数 f ( s ) 的 零 、 极 点 . 故 可 由 本 文 算 法 先 拟 合 出 f | ( s ) |平方的 极 点 与 留 数 , 并 籍 此 获 取 零 点 , 然 后 在 取 s 域 左 半 平 面 的 零 、 极 点 作 为 f ( s ) 的 零 、 极 点 , 最 终 获 取 f ( s ) 的 部 分 分 式 表 达 式 . 经 过 拟 合 计 算 , 可 得 到 f ( s ) 的 表 达 式 为

    其 幅 频 特 性 与 实 测 数 据 的 比 较 如 图 4 所 示 . 由 图 4 可 见 , 采 用 3 阶 函 数 拟 合 即 可 获 得 较 好 的 等 价 性 , 增 加 阶 数 , 还 可 进 一 步 提 高 拟 合 准 确 度 .

    3   结   语

    通 过 增 加 一 阶 导 数 信 息 和 对 系 数 矩 阵 进 行 右 乘 对 角 阵 运 算 , 本 文 提 出 了 一 种 改 进 的 复 向 量 拟 合 法 ,仿 真 结 果 和 应 用 表 明 , 该 方 法 可 显 着 提 高 传 递 函 数 的 拟 合 准 确 度 . 但 需 要 指 出 , 随 着 目 标 传 递 函 数 阶 数 的 增 加 , 该 算 法 中 的 方 程 条 件 数 较 之 传 统 复 向 量 拟 合 法 增 加 更 为 明 显 , 因 此 , 当 目 标 传 递 函 数 阶 数 较 高 时 , 该 算 法 较 之 复 向 量 拟 合 法 并 无 优 势 . 采 用 较 高 的 传 递 函 数 拟 合 阶 数 , 会 使 数 字 化 校 正 和 物 理 电 路 实 现 变 得 复 杂 , 实 际 应 用 表 明 , 十 阶 以 下 的 等 效 模 型 , 对 于 一 般 电 磁 场 天 线 的 频 域 特 性 已 经 足 够 , 可 获 得 较 高 的 拟 合 准 确 度 .

用示波器测定机电系统的传递函数

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    1.  引言

    伺服系统中,为了更好地对系统进行控制,通常需要知道系统的传递函数.由于用理论分析的方法建立系统的传递函数过程较为复杂,且准确度不是很好,所以实际工程中常用实验的方法确定系统的传递函数.传统的实验法测量系统的传递函数需要使用频率分析仪,频率分析仪属于高档设备,一般实验室没有.现在控制系统多采用基于微计算机的数字控制系统.本研究根据测量传递函数的原理结合数字控制的优点,提出了用常见仪器示波器测量机电系统传递函数的方法,该方法充分发挥了控制系统中微计算机(本研究中为DSP)的功能,并在力矩电机传动系统中做了实验.

    2.  实验原理

    给系统(这里是力矩电机)输入相同幅值、不同频率 ωi 的一组正弦信号 Fi,通常频率由低到高进行实验,用测速仪器(测速机)测量每一个输入信号 Fi 下系统对应的输出信号Gi,并用示波器观察该输出信号,同时把该信号的幅值 Ai 记录下来.以输入信号的频率 ωi为横坐标,对应输出信号幅值 Ai 为纵坐标绘图.该图即为系统的幅频特性.根据控制理论可从该图确定出系统的增益和各转折频率,从而便确定了系统的传递函数.该方法成功的关键在于实际应用中的机电系统是最小相位系统.

    3.  实验系统

    研究中的实验框图如图1所示.DSP系统(SEED-DEC2812 V1.0)用于产生正弦信号,

    并生成PWM脉冲.功放是用IGBT管搭建的H型可逆形式的,用于驱动力矩电机.测速机(70CYD-1)测量力矩电机(J300LYX03C)带动下负载的转速(输出响应信号) ,示波器(HP 54602B)用于显示输出响应信号.输出响应信号的幅值 Ai 从示波器读出,手动记录.实验中力矩电机、负载和测速机系统的实物如图2所示.

    4.  结果

    实验中输入的正弦信号是幅值为8.07的各频率信号,如下式

    测量得到的系统的幅频关系数据见表1,根据表1用MATLAB绘制的对数幅频特性曲线见图3.从图3可见,第一个转折频率为,对应机电时间常数,第二个转折频率为 ,对应电磁时间常数 , 被测系统的谐振角频率为1314rad/s(209Hz). 系统增益 ,所以被测系统的三个参数如式(2) ,则可知系统的传递函数见式(3) ,式中是负载输出角速度的拉氏变换, 是输入电压的拉氏变换.

    5.  总结

    现在伺服控制系统多采用数字控制系统. 该控制系统一般具有生成正弦信号和 PWM 的能力.示波器又是实验室常用设备.所以该研究的测量伺服系统传递函数的方法简单、容易实现,适合于大多数实验研究.

    本文的创新点在于:充分发挥了数字控制系统中微计算机的作用,使其不仅可以作为最总产品的控制器, 且在系统开发过程中还可以充当信号发生器的角色. 使用常规实验仪器 (示波器) ,省去了传统方法中使用的昂贵仪器(频率分析仪) .该方法简单,容易实现,且实现成本低.

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